2016年10月17日更新

勘やセンスに頼らない整数問題の考え方①範囲を絞りこめ!(part 2)

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整数問題を雰囲気で解いていると、いつまでも足を引っ張られる

整数問題は、お決まりの解法が少ない(複数の解法を色々考えて試さなければいけない)ため、苦手とする受験生がとても多いです。

苦手意識のある受験生は、「整数問題は、数学的なセンス・勘に頼らないと解けない」と思い、対策を放棄しがち。結果なんとなく雰囲気で解いてしまい、整数問題が受験生にとってのアキレス腱であり続けます。

たしかに整数問題は、お決まりの解法こそありません。しかし、考え方・方針の立て方はある程度前もって定まっています。視点を体得すれば、解法の方針を立てるまでに要する時間を減らすことができます。

前回から引き続き、『範囲を絞りこめ!』を扱います。

整数問題で使える絞りこみの手法②離散性に注目

問題
\(2x^2-3x+y-5=0\)を満たす自然数\(x,y\)の組を全て求めよ。

\(x,y\)が整数でなければ、解は無限に存在しますが……整数の離散性を利用すると、うまく絞りこむことができます。

整数は1,2,3,…と、とびとびの値しかとりません。これを整数の離散性といいます。

整数は無限に存在します。しかし、ある一定範囲内で見たとき、その数は限られます。例えば、\(1<x<3\)を満たす実数\(x\)はたくさんありますが、整数\(x\)となると\(2\)しかありませんよね。

実は、前回の記事の例題でも離散性を利用しています。\(\frac{x+y}{z}<2\)で\(\frac{x+y}{z}\)は自然数だから\(\frac{x+y}{z}=1\)しかありえない、という部分です。読んでいて違和感がなかったと思いますが、実はとても強力な絞りこみの方法なのですね。

与式を変形して、\(y=-2x^2+3x+5\)。\(y\)は自然数だから、\(y=-2x^2+3x+5>0\)。

不等式\(-2x^2+3x+5>0\)を解くと、\(-1<x<\frac{5}{2}\)となります。(\(x\)の必要条件)

(整数の離散性より)\(-1<x<\frac{5}{2}\)を満たす自然数\(x\)は\(1,2\)に限られます

\(x=1\)のとき、\(y=-2×1^2+3×1+5=0\)となり、\(y\)が自然数という条件を満たしません。

\(x=2\)のとき、\(y=-2×2^2+3×2+5=3\)となり、\((x,y)=(2,3)\)という解が見つかりました。

(\(x\)の十分条件が担保されました)

解答
\((x,y)=(2,3)\)

不等式を出現させて絞りこむと、以上のようにあっさり答が導き出せるのです。

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練習問題

問題

\(n>3\)とする。\(n\)と\(n+2\)がともに素数であるとき、\(n+1\)が\(6\)の倍数であることを示せ。

解答

\(n\)と\(n+2\)は、ともに\(3\)より大きい素数だから、いずれも奇数。ゆえに、\(n+1\)は偶数。

また、\(n\)と\(n+1\)と\(n+2\)は連続する\(3\)整数だから(ここで離散性を活用します!気づきましたか?)、このうちのいずれか\(1\)つは\(3\)の倍数。

\(n>3\)であって、\(n\)と\(n+2\)は素数だから、いずれも\(3\)の倍数ではない。

ゆえに、\(n+1\)は\(3\)の倍数。

以上より、\(n+1\)は偶数かつ3の倍数だから、\(n+1\)は6の倍数。(証明終)

画像引用:instagram.com

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