2016年12月17日更新

物理の熱気球の問題には『密度の状態方程式』を適用せよ

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熱気球の問題を見通し良く解くために

物理の2次試験でよく出題される熱気球の問題。「浮力」と「気体の状態方程式」の両方の知識が問われる難易度の高い問題です。

一見簡単そうに見えますが、闇雲に状態方程式をいじっても答えにはまずたどり着けません。その理由は、浮力が関係する問題では状態方程式に直接現れない「密度」がキーになるからです。

ですが、この問題には意外と知られていない便利な道具が存在します。

それは以下の式で表される『密度の状態方程式』です。

\[
\boldsymbol{ \frac{P}{\rho T}= \text{(一定)} }
\]

ただし、気体の密度を\(\rho [\text{kg/m}^2]\)とする。

密度の状態方程式の導出

一般的な気体の状態方程式は以下の形をしています。

圧力を\(P\)、体積を\(V\)、気体の物質量を\(n\)、気体定数を\(R\)、絶対温度を\(T\)として
\[PV=nRT\]

ここで、気体の質量を\(w [\text{kg}]\)、気体の分子量を\(M [\text{kg/mol}]\)として

\[n=\frac{w}{M}\]

状態方程式に代入して

\[
PV =\frac{w}{M}RT
\]

\[
\frac{P}{\frac{w}{V} T}= \frac{R}{M}
\]

そして、気体の密度を\(\rho [\text{kg/m}^2]\) とすると

\[ \rho = \frac{w}{V} \]

これを代入して

\[ \boldsymbol{ \frac{P}{\rho T} = \frac{R}{M} } \]

これが密度の状態方程式です。右辺は気体定数と気体の質量数のみしか存在しないので、大気中に気球が存在する限り一定です。つまり、

\[ \boldsymbol{\frac{P}{\rho T}= (一定)} \]

この式は、

  • 気球内部の空気の物質量が変化する前後でも使える
  • 大気のように、体積が分からないが密度はわかる場合にも簡単に適用できる

という特徴を持っているため、気球の問題でよく使われます。

なお、この状態方程式は浮力以外の問題で使う可能性は低いので、暗記する必要はありません。その代わり、浮力の問題を見たときにはすぐに導けるようにしておきましょう。

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例題

問題

以下の文章を読み、次の問い(問1~3)に答えよ。
 
内部の空気の質量を抜いた気球の質量を\(M\)、気球内の空気の体積を\(V\)とする。また、気球外部の大気の密度(単位体積当たりの質量)は高度に関係なく\(\rho_0\)に等しいとして、地表における大気の絶対温度と圧力をそれぞれ\(T_0,P_0\)とする。ただし、重力加速度の大きさは\(g\)である。
 
まず気球内の空気を温めていく。すると、ある絶対温度\(T\)を超えたとき気球が地面から浮いた。
 
問1 このときの気球内部の空気の密度\(\rho\)を求めよ。
 
問2 気球が浮いたときの絶対温度\(T\)を求めよ。
 
次に、気球が上昇して大気の絶対温度が\(T_1 (T_1<T_0)\)になった。
 
問3 このときの大気の圧力\(P_1\)を求めよ。
 
気球1

 

解答・解説

問1 「密度の状態方程式」が使える典型問題です。

まず、気球の中と外では圧力\(P_0\)が等しいことに注意しましょう。
そのうえで、(気球内部の状態)=(気球外部の状態)として式を立てると

\[
\frac{P_0}{\rho T}=\frac{P_0}{\rho_0 T_0}
\]

よって、
\[
\boldsymbol{ \rho=\frac{T_0}{T}\rho_0 }
\]

問2 初見だと難しく見えるかもしれませんが、落ち着いて考えましょう。浮き上がる直前、気球にかかる力がつりあっていることがキーポイントです。

力のつりあいの式を立てると、

(気球そのものの重さ)+(気球内部の空気の重さ)=(気球にかかる浮力の大きさ)
 
気球2

したがって、

\[
Mg+\rho Vg =\rho_{0}Vg
\]

両辺を\(g\)で割って、\(\rho=\frac{T_0}{T}\rho_0\)を代入すると

\[
M+\frac{T_0}{T}\rho_{0}V=\rho_{0}V
\]

\(T\)について解いて、

\[
\boldsymbol{ T=\frac{\rho_{0}V}{\rho_{0}V-M}T_{0} }
\]

問3 密度の状態方程式を利用すると

(気球が浮いているときの大気の状態)=(地表近くでの大気の状態)

として、

\[
\frac{P_1}{\rho_0 T_1}=\frac{P_0}{\rho_0 T_0}
\]

よって、

\[
\boldsymbol{ P_1=\frac{T_1}{T_0}P_0 }
\]

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