2016年08月09日更新

模試で『位置ベクトル』を得点源にするには5原則を抑えてからとにかく問題演習を積む!

ベクトル

位置ベクトルは解法暗記で定期試験は乗り切れても模試は乗り切れない理由

ベクトルが苦手という人は大きさの計算が出来ないとかベクトルの足し算引き算が出来ないというよりも、初見問題を見た時に何から手を付けたらいいのか分からないという人が多いです。

解法の方針を暗記すれば定期テストでは高得点も取れるかもしれませんが、マーク試験になるといつもベクトルで詰まるのでは?

確かに数学においては解法暗記がとても重要なんですが、ベクトルについては図形が絡んでいるため、出題パターンがほぼ無限に作れてしまいます

模試になるとベクトルで得点できなくなってしまう原因はここにあるんですね。

しかし位置ベクトルはルールさえしっかり覚えてしまえば、解法暗記をそれほどせずに初見問題を解けるようになります

5原則を覚えてから、4STEPやチャートの位置ベクトルの問題を解くときにその使い方を覚える

以下に位置ベクトルの問題で使う重要な5つのルールを説明していきます。ただこれを覚えただけでは当然点には繋がりません。

5つのルールを覚えたら、次はどういうときに使えるのか、自分はどこの理解が甘いのかを問題演習をする中で確認してください

平面でも空間でも言えることですが、苦手な人は必ず平面ベクトルで練習してくださいね。平面で完全に理解できれば空間もまったく同じだと実感できるはずです。

1.問題文中に『垂直』⇒内積がゼロになる

平面の位置ベクトルの問題で最も重要なのがこれ。数学でここまで例外なく言えることは少ないくらい、揺らがないルールです。垂直という文字が問題文中にあったらすぐにこれに飛びつく習慣はもうついていますか?

2.問題文中に『平行』、『一直線』⇒片方のベクトルがもう一方の定数倍になる

いわゆるk倍というやつですね。『垂直』⇒内積がゼロと同様、こちらも問題文中に表現を見付けた直後、脳内で言葉を変換できるようになっていなければなりません

3.とにかく始点をそろえる

平面上のベクトルは一次独立な2つのベクトル(=平行でなく、どちらも長さが0ではない)、空間内では一次独立な3つのベクトルで表せるのは絶対に忘れてはいけない原則。

問題文ではいろんなベクトルが登場させてきますが、平面で言えば2つのベクトルを使って表せるので、そのためにまずは始点をそろえます

ちなみにどの点を始点にするかは、点Oとか点Aが多いです。また典型問題を1つ例にとります。

以下の等式が成り立つとき、点Pの位置を言え。


\[
{\small
5\overrightarrow{AP}
+4\overrightarrow{BP}
+3\overrightarrow{CP}
=\overrightarrow{0}
}
\]

この手の問題は、すべてのベクトルを始点をAにして表すことから始まります。始点がバラバラだったら始点をどれか一つにするのが原則。これめちゃくちゃ重要ですよ!

4.問題文中に『大きさを求めろ』⇒大きさの2乗を計算

ベクトルの大きさ、つまり線分の長さを求める場合必ずと言っていいほど2乗したうえでルートをとって求めます。

一見何をすればいいか分からない問題でも、「とりあえず大きさ聞かれてるから2乗してみるか」とペンを動かせると、自然と解答の方針が立つことも多いです

5.文字を使って2種類の表し方で位置ベクトル表す

どんな教科書にも載っている次の典型問題を例にして考えます。

下図で点Pの位置ベクトルを求めよ。

ベクトルAPを求めるためには

\[
{\small
\overrightarrow{AP}
=\overrightarrow{AD}
+\overrightarrow{DP},~
\overrightarrow{AP}
=\overrightarrow{AE}
+\overrightarrow{EP}
}
\]
という風に考えられます。もしくはDP:PC=s:(1-s)、BP:PE=t:(1-t)と置いてもOK。位置ベクトルを求めろ、と言われたらこのパターン。

ちなみにこの問題はチェバの定理でも解ける有名問題なので一度その解法でも解いてくださいね。

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外心・内心・垂心の位置ベクトルの求め方は解法暗記が効率的

模試やセンター、私大国立大で出題されるのは上に書いたルールを組み合わせれば基本的に解けますが、一方で定期試験で出題されやすいのは外心・内心・垂心の位置ベクトルを求める問題

これらも上の5つのルールを使えば解けますが、その内容を他の図形などに応用できないんです。数字が変わるくらいでやることはまったく変わりません。

ですので定期試験対策の場合は外心・内心・垂心の求め方は暗記すべきです。ただしその他の問題は5つのルールを覚えて応用できるまで練習してくださいね。

ちなみに青チャートと4STEP(クリアー、体系問題集)の正しい使い分けと本当に取るべきテスト対策に書いた通り、定期テストの2週間前からやり始めないと、高得点は望めませんよ。

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