2016年11月01日更新

円と直線の共有点に関する問題は座標を求めるかで図形的/代数的な解法を選択する

math2b

図形が絡む問題では図形的に解くか代数的に解くかを常に選択する意識を持つこと

図形と方程式の問題に限らず図形が絡んだ問題では常に図形的に解くか、代数的に解くかをまず考えるべきです

図形的に解くメリットは気づいてしまえば面倒な計算せずに解けることがあること。一方代数的に解くメリットは余計なこと考えずいつも同じやり方で解くことができることです。

こんな風にどちらにもメリットがあるので、図形が絡んだ問題では解法の選択が必要ですが、円と直線の位置関係の問題を使って具体的に説明します。

接点の座標を求めるなら『判別式』求めないなら『点と直線の距離』を使う

例題
\(x^2+y^2=1,y=-x+k\)の共有点の個数は、定数\(k\)の値によってどのように変わるか。

まずこの問題を見たら当然のように2つの解法を思いつけるようになっておかないとまずいですよ

1つ目は図形的なアプローチ。円の中心と直線の距離によって場合分けします。共有点の個数は、

  1. (円の中心と直線の距離)\(>\)(円の半径)→0個
  2. (円の中心と直線の距離)\(=\)(円の半径)→1個
  3. (円の中心と直線の距離)\(<\)(円の半径)→2個

あとはこの場合分けに沿って計算するだけですね。

次に代数的なアプローチをとります。円と直線の共有点の\(x\)座標は

\[
\begin{cases}
x^2+y^2=1 \\
y=-x+k
\end{cases}
\]

の\(y\)を消してできる2次方程式
\[2x^2-2kx+k^2-1=0・・・(*)\]
の解になります。つまり共有点の個数は\((*)\)の実数解の個数になります。2次方程式の解の個数と言えば判別式ですね。

以上2パターンの解き方がありますが、2つの解法は使い分けるべきです。

具体的な使い分け方として、共有点の座標を求める必要がある問題では判別式、それ以外の問題では点と直線の距離の公式を使った解法を取るべきです

やってみるとわかりますが図形的に解く方が計算自体は楽なので、先ほど挙げた例題では図形的に解くべきです。しかし点と直線の距離を使った解き方では共有点の座標をすぐに求めることができません。ですので例えば

例題
\(x^2+y^2=1,y=-x+k\)が接するときの\(k\)の値と、そのときの接点の座標を求めよ。

のような問題では判別式を使って解いた方が楽になります。見極めるのは簡単なので、この使い分けをしていなかった人は今後円と直線の位置関係の問題を見かけたら少しでも無駄を削るように解法を見極めてください

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練習問題

問題

円\(x^2+y^2=5\)と直線\(y=2x+m\)が共有点をもつときの定数\(m\)の値の範囲を求めよ。

解説

共有点の座標を聞かれていないので図形的に解きます。

\(y=2x+m \Leftrightarrow 2x-y+m=0\)

より、円の中心と直線の距離は、

\(\frac{|2・0-0+m|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|m|}{\sqrt{5}}\)

なので、円と直線が共有点を持つのは

\(\frac{|m|}{\sqrt{5}}≦\sqrt{5} \)のとき

つまり\(\underline{-5≦m≦5}\) のとき

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